Из дворян Тульской губернии. Обучался в Московском университетском благородном пансионе. Военную службу начал в 1814 г. подпрапорщиком в лейб-гвардии Измайловском полку. В 1825 г. в чине полковника переведен в лейб-гвардии Егерский (Гатчинский) полк. В 1833 г. генерал-майор М.А. Офросимов назначается командующим лейб-гвардии Финляндским полком, в составе которого участвовал в русско-турецкой войне 1828-1829 гг.; награжден за усердие и храбрость при осаде крепости Варны. В 1834 г. утвержден на должности командира Финляндского полка. В 1844 г. за отличия по службе получил звание генерал-лейтенанта. Командовал отдельными гвардейскими частями. В 1856 г. М.А. Офросимов произведен в генералы от инфантерии. В 1859 г. - командир 3-го резервного корпуса.

В начале 1864 г. судьба привела его в Москву. С именем М.А. Офросимова связано создание Художественно-промышленного музея. В сентябре 1864 г. открылась Всероссийская выставка произведений сельского хозяйства и сельской промышленности, а 3 июня 1865 г., по сложившейся со времен Д.В. Голицына традиции, - Мануфактурная выставка.

В сфере его внимания находились и вопросы городского хозяйства, связанные с улучшением водоснабжения, запрещением строительства деревянных бань, изучением возможностей оснащения Москвы текучим газом .

Пользовался известностью в литературно-музыкальных кругах: писал стихи, часть которых была положена на музыку, перевел с французского несколько пьес для театра, одна из них - Мальтийский кавалер - имела шумный сценический успех.

Уволен в отставку согласно прошению с назначением членом Государственного совета.

Похоронен под церковью Св. Сергия Сергиевской пустыни (С.-Петербург).