Родился в Рязанской губернии в семье весовщика элеватора. В 1925 г. закончил школу-семилетку. Трудился чернорабочим на железной дороге, затем в паровозном депо. По окончании Московского инженерно-строительного института работал на Рублевской водопроводной станции начальником цеха, главным инженером, с 1939 г. - начальник Сталинской водопроводной станции. За умелое обеспечение ее работы во время войны награжден орденом Красной Звезды. С 1948 г. - начальник Управления водопроводно-канализационного хозяйства Мосгорисполкома, затем заместитель и первый заместитель председателя Мосгорисполкома. За пять лет, пока Н.И. Бобровников возглавлял Исполком Моссовета, город превратился в огромную строительную площадку. В кратчайшие сроки был сооружен спортивный комплекс в Лужниках. В 1959 г. началось строительство города-спутника Зеленограда. В 1957 г. открылись станции метрополитена Спортивная и Фрунзенская . Большой вклад внес Н.И. Бобровников в организацию проведения в 1957 г. Всемирного фестиваля молодежи и студентов. Это мероприятие международного масштаба потребовало от Исполкома и его служб небывалых усилий, четкости и компетентности в работе.

Широкий размах приобрело жилищное строительство. Наиболее интенсивно застраивался Юго-Запад столицы. В 1960 г. границы Москвы были расширены до черты кольцевой автодороги. В том же году было проведено перерайонирование города. Вместе с тем, под давлением Н.С. Хрущева именно в эти годы наметилась тенденция строительства домов низкой этажности с минимальными удобствами для проживания.

Позже работал заместителем председателя Госэкономсовета СССР, начальником отдела Госплана Союза. В 1956-1961 гг. - член ЦК КПСС, избирался депутатом Верховного Совета СССР.