Родился в Ростовской области в крестьянской семье. Трудовую деятельность начал в пятнадцать лет. Работал котельщиком на таганрогском металлургическом заводе, окончил Таганрогский вечерний рабочий факультет. С 1929 г. - член ВКП(б). Учился в МВТУ им. Баумана, затем в Военно-инженерной академии РККА, которую закончил в 1935 г. В предвоенные и военные годы трудился на строительстве крупнейших оборонных предприятий Урала. За образцовое выполнение заданий по сооружению объектов оборонной промышленности был награжден тремя орденами. В последующие годы - министр союзных строительных министерств, заместитель председателя Совета министров РСФСР, председатель комиссии Совета Министров СССР по капитальным вложениям.

В связи с расширением в 1960 г. территории Москвы за счет ряда городов и поселков (вплоть до кольцевой дороги) и образованием семнадцати административных столичных районов, на плечи Н.А. Дыгая легли задачи по укреплению связи Мосгорисполкома с местными органами власти, координации их деятельности, интеграции вновь присоединенных территорий в общемосковскую инфраструктуру.

Под непосредственным руководством председателя Исполкома был разработан и первый вариант технико-экономических основ Генерального плана развития Москвы на 1961-1980 гг. Его суть составляли: рациональное расселение москвичей с помощью комплексного жилищного и промышленного строительства, гармоническое развитие всех отраслей городского хозяйства. Планировалось в течение первого десятилетия покончить с нехваткой жилья, а второго - обеспечить каждую семью отдельной квартирой.

Отличаясь исключительной работоспособностью, деловитостью и требовательностью к себе и подчиненным, Н.А. Дыгай за короткий срок сумел активизировать и улучшить работу аппарата Мосгорисполкома и его служб, выдвинул перед правительством ряд перспективных предложений, направленных на улучшение жизни города. Не боялся он и противодействовать стремлению верхов регламентировать все вопросы строительства в Москве. В 1961-1963 гг. - член ЦК КПСС, депутат Верховного совета СССР.

Похоронен на Красной площади у Кремлевской стены.