Из старинного дворянского рода. Окончив с отличием в 1764 г. Шляхетный сухопутный кадетский корпус, к 1789 г. дослужился до генерал-поручика. Участник русско-турецкой войны 1768-1774 гг.

Первой ступенью административной карьеры А.А. Беклешова стала должность орловского и курского генерал-губернатора (1790-1796), затем - каменец-подольского военного губернатора (1796-1798) с назначением шефом Владимирского мушкетерского полка. В этот период Павел I произвел А.А. Беклешова в генералы от инфантерии, назначил малороссийским военным генерал-губернатором и одновременно вверил ему гражданское управление Киевской губернией.

С первых дней управления Москвой А.А. Беклешов принял меры против искусственного взвинчивания цен на хлеб и завершил многое из того, что было начато его предшественником. В 1805 г. закончилось сооружение каменного моста через Яузу, в 1806 г. - строительство главного корпуса Павловской и Мариинской больниц для бедных на Новой Божедомке. Подошло к концу длившееся много лет укрепление камнем Москворецкой набережной, продолжались работы по дальнейшему устройству водопровода. Совершенствованию механизма столичного управления способствовало составление Комитетом по уравнению городских повинностей нового штата полицейской службы. Предпринимал шаги по регулированию административных связей города и уезда. А.А. Беклешов предложил передать в ведение городской полиции подмосковные селения, расположенные в двухверстном расстоянии от Камер-Коллежского вала. Реализовать эту идею удалось лишь его приемнику - Т.И. Тутолмину.

Расстроенное здоровье заставило его подать прошение об увольнении с должности. А память о московской странице биографии осталась в полученной награде - бриллиантовых знаках ордена Св. Андрея Первозванного.

Умер в Риге, где и похоронен на Покровском кладбище.